Гипотеза Морделла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Предпосылки

[править | править код]

Пусть  — неособая алгебраическая кривая над полем . Множество рациональных точек кривой зависит от её рода следующим образом:

Доказательство

[править | править код]

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род , поле определения и множество точек плохой редукции . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тейта[англ.] и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона[англ.].

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Паулем Войта[англ.]. Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

  • Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
  • Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
  • Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения , поскольку для таких n кривая Ферма имеет род, больший 1.

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой с конечнопорождённой подгруппой абелева многообразия . Заменяя на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга , мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если  — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем , то множество -рациональных точек нигде не плотно в топологии Зарисского в . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. Коулман[англ.] в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература

[править | править код]
  • Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
  • Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
  • А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. «Доказательство гипотезы Морделла». — Квант, 1984. — № 3.
  • Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.