Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Пусть дано топологическое пространство
, где
— произвольное множество, а
— определённая на
топология. Пусть рассматривается множество
Тогда точка
называется грани́чной то́чкой мно́жества
, только если для любой её окрестности
целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:
и одновременно с этим ![{\displaystyle U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf574bbe15ff600860bda9d46784258c99b62c4e)
Множество всех граничных точек множества
называется границей множества
(в
) и обозначается
или
если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства
.
![{\displaystyle \partial A=\partial \left(A^{\complement }\right);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b62f123d60bb6bdedf910247a248ed4058660a0)
![{\displaystyle \partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2baa92551460630c25891e435fa2a7dc515cec)
— замкнутое множество;
— открытое множество тогда и только тогда, когда ![{\displaystyle A\cap \partial A=\emptyset ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc21fb48496f41824d7ceba3f95bf01b0694b23)
— замкнутое множество тогда и только тогда, когда ![{\displaystyle \partial A\subset A;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e023ea5cf0e96bb0bfc4e4a2e79c570ee4e0b86)
— открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда ![{\displaystyle \partial A=\emptyset ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc36f43faf2af261392368cfb4029271eeb1e83)
, причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда ![{\displaystyle (\partial A)^{\circ }=\emptyset ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee49bf6600d6da69ce1dcc13f0ca07d58f0dd87)
![{\displaystyle \partial \partial \partial A=\partial \partial A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41223eaab0db7c2b3fa06179b680c975e592be9d)
Рассмотрим числовую прямую
со стандартной топологией. Тогда: для
:
- Для
: ![{\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b)=\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cf35e02e0cf480333b67df0d97149d4143b582)
![{\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebef418e903722b2a36deba25a15e7fb9bd1ce3)
![{\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }\mathbb {Q} =\mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e8cc2072f09c0466c938bca8343b96a55d812e)
При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.
Например, дана стандартная топология на
Тогда граница открытого круга
относительно этой топологии равна окружности
потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом
так и с его дополнением
граничная точка должна быть на окружности
Если же рассмотреть стандартную топологию на
то границей открытого круга
будет замкнутый круг
поскольку внутри
окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга
относительно
уже является
. Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга
уже будет попадать не только любая точка окружности
но и любая точка исходного множества