График интегрального косинуса для 0 < x ≤ 8π.
Интегра́льный ко́синус — специальная функция, определяемая интегралом[1]
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3648bd4d60e6b9421f82b7afcada788b4dc87488)
или:
![{\displaystyle \gamma +\ln x+\int \limits _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0e2d683b1bd5d13b16073d30c7b6f09fa6df61)
где
— постоянная Эйлера-Маскерони.
Иногда используются другие определения:
![{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c0e75b2cddb37be95291f94f83eb6a64abc7bf)
![{\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ci} (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905b19fa530254e6e6c7d188a026b86d4cea2f9e)
Также возможно определение интегрального косинуса через интегральную показательную функцию по аналогии с обычным косинусом[2]:
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (ix)+\operatorname {Ei} (-ix)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3321e4c37d63465f3c702405ebb11713bbe36f02)
Интегральный косинус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.
- Интегральный косинус может быть представлен в виде ряда:
![{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2\cdot 2!}}+{\frac {x^{4}}{4\cdot 4!}}-{\frac {x^{6}}{6\cdot 6!}}+\cdots =\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!(2n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa914b6d565c6d7ab1cae8e19a660f5df255bd2f)
- ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. - с. 625
- ↑ Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2 // М.: Наука, 1974. - с. 149
- Математический энциклопедический словарь, М. 1995, с. 238
- Weisstein, Eric W. Cosine Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.